KVOはObjective-Cではときどき使っていましたが、Swiftでは使ったことがなかったので試してみます。
KVOは変数の値の変化を監視する仕組みです。

ViewControllerにボタンを配置して、ボタンを押した時に変数の値を変えて動作確認しました。

Hoge.swift

ViewControllerで監視する変数を持つクラスです。

import Foundation

class Hoge : NSObject {
  @objc dynamic var count: Int = 0
}

ViewController.swift

import UIKit

class ViewController: UIViewController {

  var hoge: Hoge = Hoge()

  override func viewDidLoad() {
    super.viewDidLoad()

    // countを監視対象にする
    hoge.addObserver(self, forKeyPath: "count", options: [.old, .new], context: nil)

    hoge.count = 10
    hoge.count = 11
  }

  override func didReceiveMemoryWarning() {
    super.didReceiveMemoryWarning()
  }

  deinit {
    // countを監視対象から削除
    hoge.removeObserver(self, forKeyPath: "cout")
  }

  @IBAction func tapCountBugtton(sender: Any){
    print("----- tapCountBugtton")
    hoge.count += 1
    print("hoge.count : \(hoge.count)")
  }

  override func observeValue(forKeyPath keyPath: String?, of object: Any?, change: [NSKeyValueChangeKey : Any]?, context: UnsafeMutableRawPointer?) {
    print("----- observeValue")
    print("object : \(String(describing: object))")
    print("keyPath : \(String(describing: keyPath))")
    print("change : \(String(describing: change))")
  }
}

ボタンをタップするとtapCountBugttonが実行されてhoge.countをインクリメントします。

出力結果

viewDidLoadでhoge.countに10を代入し、そのあとに11を代入しているのでobserveValueが２回呼ばれまています。
addObserverのoptionsで.oldと.newを指定しているのでchangeに新しい値と古い値が入っています。

----- observeValue
object : Optional(<KvoTest.Hoge: 0x600000016bc0>)
keyPath : Optional("count")
change : Optional([__C.NSKeyValueChangeKey(_rawValue: new): 10, __C.NSKeyValueChangeKey(_rawValue: kind): 1, __C.NSKeyValueChangeKey(_rawValue: old): 0])
----- observeValue
object : Optional(<KvoTest.Hoge: 0x600000016bc0>)
keyPath : Optional("count")
change : Optional([__C.NSKeyValueChangeKey(_rawValue: new): 11, __C.NSKeyValueChangeKey(_rawValue: kind): 1, __C.NSKeyValueChangeKey(_rawValue: old): 10])

ボタンをタップするとtapCountBugttonが実行され、hoge.countをインクリメントしています。
hoge.countの値が変わるのでobserveValueが呼ばれます。

----- tapCountBugtton
----- observeValue
object : Optional(<KvoTest.Hoge: 0x600000016bc0>)
keyPath : Optional("count")
change : Optional([__C.NSKeyValueChangeKey(_rawValue: new): 12, __C.NSKeyValueChangeKey(_rawValue: kind): 1, __C.NSKeyValueChangeKey(_rawValue: old): 11])
hoge.count : 12

Objective-Cの時代からあったKVOなので簡単に試せると思ったのですが、うまく通知できずハマってしまいました。
最初、Hogeクラスのcountを下記のように定義していました。
これではKVOはうまく動きませんでした。

  var count: Int = 0

下記のように@objc dynamicを指定すると正常に動作します。

  @objc dynamic var count: Int = 0

監視対象の変数にはdynamicの指定が必要なようです。
Swift4から@objcを指定が必要なようです。

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